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gnolus.
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calcolare il volume del solido
radicequadrata[(x^2+y^2)/2]<z<3-x^2-y^2 con x,y,z appartenenti ad R3
il procedimento dovrebbe essere, come prima cosa il passaggio alle cilindriche in questo caso
x=p cos T
y=p sen T
z=z
cosi diventa
radicequadrata[p^2/2]<z<3-p^2
quindi
p/radicequadrata(2)<z<3-p^2
ora come si procede?
non riesco a trovare gli estremi di ro. theta dovrebbe variare tra 0 e 2pigreco, uno è un cono e una funzione cilindrica, l'hanno spiegato un giorno al tutorato i tutor ma nn ho capito gran che il procedimento. se non avete capito il testo, il succo è come si può trovare ro avendo z compreso tra 2 funzioni.
questo esercizio c'era nel mio compito infatti ho sbagliato gli estremi di ro. help ho l'esame il 10, grazie mille
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Phantom Menace.
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Premettendo che è da molto che non tocco analisi 2, e in particolare gli integrali tripli, io sono empiricamente arrivato a questa soluzione... non ti posso dare la certezza che sia giusta, ma magari c'è qualche spunto che ti può essere utile...
Buon lavoro!
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albertoz.
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Forse ho esagerato con la risoluzione ^___^'' 
Mi salta fuori ro = radice di 2
Ringrazio l'amico Alberto per la consulenza e per il riscontro del risultato tramite MatLab ^^. -
Conte_Alcor.
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Ecco il grafico delle funzioni la cui intersezione genera il solido: 
C_A. -
0^0.
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Ciao Gnolus. Per risolvere questi problemi solitamente disegno sempre le superfici coinvolte (un cono rotondo a concavità verso l'alto e un paraboloide rotondo a concavità verso al basso con "vertice" in (003)) . Come si può notare si intersecano dando origine alla curva gamma nello spazio. A te interessa però il dominio. Questo si potrebbe informalmente definire come la regione del PIANO XY "sopra" la quale si costruisce (in questo caso) il solido che devi studiare. Come puoi notare dal disegno (non ho scanner se no te l'avrei fatto vedere) il solido di cui tu ti devi calcolare il volume si costruisce sopra la PROIEZIONE della curva gamma nel piano XY (se capisci questo hai compreso tutto). Se fa un sistema fra le due superfici eliminando la variabile z ossia ponendo
radicequadrata[(x^2+y^2)/2] = 3-(x^2+y^2)
non ottieni la curva gamma nello spazio ma una funzione in due variabili (ossia in xy) che è proprio la curva che delimita il dominio che vai cercando (ossia la proiezione di gamma nel piano xy). Il sistema si può risolvere effettuando la sostituzione t^2= (x^2+y^2)
diventa cosi t/radice(2) =3-t^2
risolvendola ottieni t=radice2
l'altra soluzione si scarta perchè t=radice (x^2+y^2) e quindi non può essere mai negativo. Quindi avrai
dalla sostituzione t=radice(x^2+y^2) e t=radice2
quindi radice(x^2+y^2) = radice2
ossia il dominio e delimitato da una circonferenza di centro l'origine e raggio r=radice2. Quindi per la sostituzione
0<ro<radice2
2) METODO (più veloce)
dal disegno vedi che, avendo a che fare con figure estremamente regolari, l' intersezione è una circonferenza (essendo due figure "rotonde") i cui punti giacciono nello stesso piano z=c. Se riesci a trovare la c basta fare un sistema con una qualunque delle due figure e ottieni la curva gamma proiezione.
Le due figure sono z=radicequadrata[(x^2+y^2)/2]
z=3-x^2-y^2
Se metti x=0 ottieni delle curve in yz che non sono altro che le itersezioni delle superfici col piano YZ. Quindi avremo
z=y/radice2 (soluzione positiva perche y>0) e
z=3-y^2
ne fai un sistema (annullando la z e la via più semplice) e ottieni
y/radice2=3-y^2
e ottieni y=radice2
a te serve z però. sapendo che z=3-y^2 avrai sostituendo la y trovata z=1
intersecando il piano z=1 con una qualsiasi delle due superfici:
z=radicequadrata[(x^2+y^2)/2]
z=3-x^2-y^2
dovresti ottenere lo stesso risultato con entrambe (altrimenti il sistema sarrebbe sbagliato). Infatti
1=radicequadrata[(x^2+y^2)/2] ti da radicequadrata(x^2+y^2)=radice2
e l'altra superficie intersecata
1=3-(x^2+y^2) ti da radicequadrata(x^2+y^2)=radice2
Questo è il contorno del dominio che andavi cercando. Quindi
0<ro<radice2 come dimostrato per altra via
pardon la mia pagina non si era ancora aggiornata. Non sapevo della risposta Albertoz e Conte Alcor
Edited by 0^0 - 3/7/2007, 22:35. -
gnolus.
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grazie per tutte queste risposte, proprio ieri mi sn messo a fare anke io la risoluzione dell'equazione di 2 grado ricavandomi ro, x trovare ro bisogna semplicemente ricavarselo, quello che so è che nn è radice(3), la vernier mi ha segnato in rosso il valore di ro anke se poi il procedimento era giusto.
disegnare il grafico?
di una funzione in R3?
a mano ci metto un sacco a ricavarmela, poi sn alquanto impedito con i disegni, meno male ke in elettronica nn c'è disegno industriale
il problema di integrali doppi e tripli non è l'integrazione di per se ma sn gli estremi.
sbagli il dominio di integrazione, tutto sbagliato, ed è facile sbagliarlo....
vabbe speriamo bene per il 10, grazie mille a tutti ricambierò un giorno
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Seraphim.
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ehh troppo comodo con matlab =D . -
conigliacattiva.
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qualcuno mi sa risolvere questo esercizio :
dire se è integrabile t.a.t la serie ∑ x elevato n+1 / n al quadrato.
