[Geometria] Dispense ed esercizi

Indice
1 Spazi vettoriali e Applicazioni Lineari 5
1.1 Gli spazi vettoriali reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Lo spazio vettoriale delle matrici m £ n . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Combinazioni lineari. Sottospazi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Basi e dimensioni. Coordinate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Riduzione a scala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Prodotto di matrici. Matrici invertibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.10 Applicazioni lineari e matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.10.1 Matrice associata a un’applicazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.10.2 Cambio di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.11 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.12 Somme di sottospazi. Formula di Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.13 Nucleo e immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.14 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Sistemi lineari. Rette e piani nello spazio 43
2.1 Sistemi lineari. Il teorema di Rouch´e-Capelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Sottospazi affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Il metodo di eliminazione di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5 Rette e piani nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3 Spazi vettoriali euclidei 63
3.1 Spazi vettoriali euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3 Matrici ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 Proiezioni ortogonali e matrici associate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.1 Proiezioni ortogonali su rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.2 Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angoli . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4.3 Matrici di proiezioni su rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.4 Il procedimento di Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4.5 Proiezioni ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.6 Matrici di proiezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4 I determinanti 77
4.1 Propriet`a caratteristiche del determinante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.1 Esistenza e unicit`a del determinante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.2 Calcolo del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.3 Il determinante del prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Orientamento di uno spazio vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 Interpretazione geometrica del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5 Autovettori e Autovalori 91
5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Autovalori e autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 Il polinomio caratteristico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4 Matrici e operatori diagonalizzabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

A Temi d’esame svolti 101
A.1 Tema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
A.2 Tema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.3 Tema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A.4 Tema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A.5 Tema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A.6 Tema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
A.7 Tema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116